Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс

Пусть $a_1 = 1$; $a_2 = 2$ и $a_{n + 1} = \frac{{a_n a_{n - 1} + 1}}{{a_{n - 1} }}$ для $n=2, 3,~ \ldots.$ Докажите, что $a_n > \sqrt {2n}$ для $n\geq3$.

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:}$ Заметим, что данная последовательность является возрастающим:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac{1}{a_na_{n-1}}>1$$

$$a_1 <a_2<a_3 <... <a_{n-1}<a_n <...$$

$$a_{n+1}=\frac{a_na_{n-1}+1}{a_{n-1}}\Rightarrow a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_{n-1}}$$

$$a_n=a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-2}}\Rightarrow a_n^2= a_{n-1}^2+\frac{1}{a_{n-2}^2}+2\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}>a_{n-1}^2+2\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}>a_{n-1}^2+2$$

$$a_n^2>a_{n-1}^2+2>a_{n-2}^2+2\cdot 2 >...> a_2^2+2\cdot (n-2)=2n \Rightarrow$$

$$\Rightarrow a_n>\sqrt{2n}$$