Математикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып

Тізбекте ${{a}_{1}}=1$, ${{a}_{2}}=2$ және $n=2,3,\ldots$ үшін ${{a}_{n+1}}=\dfrac{{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}+1}{{{a}_{n-1}}}$. Олай болса, әрбір $n\ge 3$ үшін ${{a}_{n}} > \sqrt{2n}$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:}$ Заметим, что данная последовательность является возрастающим:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac{1}{a_na_{n-1}}>1$$

$$a_1 <a_2<a_3 <... <a_{n-1}<a_n <...$$

$$a_{n+1}=\frac{a_na_{n-1}+1}{a_{n-1}}\Rightarrow a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_{n-1}}$$

$$a_n=a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-2}}\Rightarrow a_n^2= a_{n-1}^2+\frac{1}{a_{n-2}^2}+2\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}>a_{n-1}^2+2\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}>a_{n-1}^2+2$$

$$a_n^2>a_{n-1}^2+2>a_{n-2}^2+2\cdot 2 >...> a_2^2+2\cdot (n-2)=2n \Rightarrow$$

$$\Rightarrow a_n>\sqrt{2n}$$