Районная олимпиада, 2011-2012 учебный год, 9 класс

Министр финансов решил, что в государстве должны быть в обращении только монеты достоинством 33 и 60 денежных единиц. Какую минимальную положительную сумму может заплатить покупатель продавцу за товар при условии, что у каждого из них достаточно монет и того, и другого достоинства?

Комментарий/решение

Ответ: 3

Если переиначить условие получим уравнение в натуральных числах $n=60y-33x$, где $n$- искомая сумма. Ясно, что правая часть делится на 3, значит и $n$ делится на 3. При $x=9, y=5, n=3$ данное условие выполнимо. Покажем, что это значение минимально . При $n=1$ получается $60y-33x=1$.60y имеет остатки 27,6,15,9,3,30,24,18,12,0. Среди них нет 1, а это значит что в целых числах решения нет. Аналогично для $n=2$