Математикадан аудандық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 9 сынып

Қаржы министрі мемлекетте айналысқа тек қана 33 және 60 ақша бірлігіне тең монеталар түсетінін бекітті. Егер олардың әрқайсысында монеталардың әр түрі жеткілікті мөлшерде болса, сатып алушы сатушыға қандай ең аз оң соманы төлей алады?

Комментарий/решение

Ответ: 3

Если переиначить условие получим уравнение в натуральных числах $ n=60y-33x$, где $ n$- искомая сумма. Ясно, что правая часть делится на 3, значит и $n$ делится на 3. При $x=9, y=5, n=3$ данное условие выполнимо. Покажем, что это значение минимально . При $n=1$ получается $60y-33x=1$.60y имеет остатки 27,6,15,9,3,30,24,18,12,0. Среди них нет 1, а это значит что в целых числах решения нет. Аналогично для $n=2$