Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс

На плоскости дан остроугольный треугольник $ABC$. Пусть $A_1$ и $B_1$ — основания высот опущенных из вершин $A$ и $B$ соответственно. Касательные в точках $A_1$ и $B_1$, проведенные к окружности описанной около треугольника $CA_1B_1$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $AMB_1$, $BMA_1$ и $CA_1B_1$ имеют общую точку.

Комментарий/решение

Очевидно что точка $M$ середина $AB$, так как $\angle HCB_1 = \angle ABB_1 = \angle MB_1B$ аналогично для $MA_1$, пусть окружности $AMB_1, \ CB_1A_1$ пересекаются в $D$, тогда $\angle MDA_1 = \angle BAC + \angle ACB$ но $ \angle MDA_1 + \angle ABC = 180^{\circ}$ то есть $D$ и есть общая точка пересечения трех окружностей.