Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып

Жазықтықта сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген. ${{A}_{1}}$ және ${{B}_{1}}$ нүктелері сәйкесінше $A$ және $B$ төбелерінен түсірілген биіктіктерінің табандары болсын. $C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге ${{A}_{1}}$ және ${{B}_{1}}$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $M$ нүктесінде қиылысады. $AM{{B}_{1}},BM{{A}_{1}}$ және $C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің ортақ нүктесі табылатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Очевидно что точка $M$ середина $AB$, так как $\angle HCB_1 = \angle ABB_1 = \angle MB_1B$ аналогично для $MA_1$, пусть окружности $AMB_1, \ CB_1A_1$ пересекаются в $D$, тогда $\angle MDA_1 = \angle BAC + \angle ACB$ но $ \angle MDA_1 + \angle ABC = 180^{\circ}$ то есть $D$ и есть общая точка пересечения трех окружностей.