Processing math: 100%

Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 11 сынып


ABC үшбұрышы B=2C және A>90 шарттарын қанағаттындырады. BC қабырғасының ортасын M деп белгілейік. C нүктесінен өтетін AC қабырғасына перпендикуляр түзу AB қабырғасын D нүктесінде қияды. AMB=DMC екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   11
9 года 5 месяца назад #

Продлим медиану до параллелограмма , так что AM=ME , получим трапецию ECDB , EC||BD. Предположим что условие верно и AMB=DMC , тогда CM - биссектриса угла EMD. Тогда из этого следует что, если N точка пересечения отрезков ED,CM из свойств биссектрисы ENND=EMMD, из подобия треугольников ΔEMD=ΔDMB .

ECBD=ABBD=ENND=EMMD или

1+ADAB=MDAM(1)

Положим что угол BCA=a , получим AC=AB\2cosaBC=ABsin3a\sina .

Откуда медиана AM=AB32cos4a2, так же CD=2ABcosatg3aAD=2ABcosacos3a , и медиану треугольника ΔBDC, MD=AB(2cos2a+1)32cos4a24cos2a

Подставляя (1) 2cosacos3a+1=(2cos2a+1)(2cos2a1)

Это тождество верное , значит изначальное предположение было верно , откуда вытекает условие

  2
2 года 3 месяца назад #

напиши синус на LaTeX

  4
6 года 5 месяца назад #

Рассмотрим равнобедренный треугольник BFC где FB=FC проведём биссектрису BN,AC в этом треугольнике, тогда треугольник ABC удовлетворяет условию задачи, пусть DMNBF по теореме Менелая для секущей MD

ABAF=BDFD=BCCF последнее по свойству биссектрисы, последние два соотношению можно записать, после преобразований как sin(ABC+FCD)=sinFCD откуда FCD=90ABC2 откуда ACD=90 удовлетворяет условию задачи , значит AMB=DMC.

пред. Правка 4   3
2 года 3 месяца назад #

пред. Правка 5   5
2 года 3 месяца назад #

пусть на DB есть точка K так чтобы угол KCA=ACB=CBT=TBA точка T пересечение бисетрисы угла B с CD тогда треугольник CKA равнобедреный и KM высота ,бисектриса и медиана докажем что DMK=KMA тогда пусть пересечение бисектриc треуга CKB в точке L докажем что KNMA kite N это пересечение MD с CK знаем что NK=KA NKM=MKA отсюда понимаем что это kite по его признакам и мы доказали что NMK=KMA отсюда т.к. KMCB AMB=DMC что и требовалоь доказать

  3
2 года 3 месяца назад #

если есть орфографические ошибки напишите пожалуйста

  1
2 года 2 месяца назад #

Так откуда факт что KA=NK?

вы не использовали что DCA=90