Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Продлим медиану до параллелограмма , так что AM=ME , получим трапецию ECDB , EC||BD. Предположим что условие верно и ∠AMB=∠DMC , тогда CM - биссектриса угла ∠EMD. Тогда из этого следует что, если N точка пересечения отрезков ED,CM из свойств биссектрисы ENND=EMMD, из подобия треугольников ΔEMD=ΔDMB .
ECBD=ABBD=ENND=EMMD или
1+ADAB=MDAM(1)
Положим что угол BCA=a , получим AC=AB∗\2cosaBC=ABsin3a\sina .
Откуда медиана AM=AB√3−2cos4a2, так же CD=2ABcosa∗tg3aAD=2ABcosacos3a , и медиану треугольника ΔBDC, MD=AB∗(2cos2a+1)√3−2cos4a2−4cos2a
Подставляя (1) 2cosacos3a+1=(2cos2a+1)(2cos2a−1)
Это тождество верное , значит изначальное предположение было верно , откуда вытекает условие
Рассмотрим равнобедренный треугольник BFC где FB=FC проведём биссектрису BN,AC в этом треугольнике, тогда треугольник ABC удовлетворяет условию задачи, пусть D′∈MN∩BF по теореме Менелая для секущей MD
ABAF=BDFD=BCCF последнее по свойству биссектрисы, последние два соотношению можно записать, после преобразований как sin(∠ABC+∠FCD)=sin∠FCD откуда ∠FCD=90∘−∠ABC2 откуда ∠ACD=90∘ удовлетворяет условию задачи , значит ∠AMB=∠DMC.
пусть на DB есть точка K так чтобы угол ∠KCA=∠ACB=∠CBT=∠TBA точка T пересечение бисетрисы угла B с CD тогда треугольник CKA равнобедреный и KM высота ,бисектриса и медиана докажем что ∠DMK=∠KMA тогда пусть пересечение бисектриc треуга CKB в точке L докажем что KNMA kite N это пересечение MD с CK знаем что NK=KA ∠NKM=∠MKA отсюда понимаем что это kite по его признакам и мы доказали что ∠NMK=∠KMA отсюда т.к. KM⊥CB → ∠AMB=∠DMC что и требовалоь доказать
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.