Областная олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс

Пусть $n$ — натуральное число, $n < 11$. Простые числа $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p$ таковы, что ${{p}_{1}}+p_{3}^{n}$ — простое, ${{p}_{1}}+{{p}_{2}}=3p$, ${{p}_{2}}+{{p}_{3}}=p_{1}^{n}({{p}_{1}}+{{p}_{3}})$ и ${{p}_{2}}>9$. Найдите значение выражения ${{p}_{1}}({{p}_{2}}p_{3}^{n}+p_{1}^{{{p}_{1}}}+n)$.

Комментарий/решение

Ответ :$2012$

Решение. Из условия $p_1+p_2=3p$ понимаем, что одно из чисел $p_1$ и $p_2$ четное. Ведь все простые числа (кроме 2) нечетны, сумма двух нечетных чисел четная,. Однако $3p$ нечетное. Из условия $p_2>9$, получаем,что четно $p_1$ то есть $p_1=2$, также $p_2=1 (mod 3 )$. С учетом полученного $2+{p_3}^n$- простое; $2+p_2=3p$ . Теперь, учитывая это,рассмотрим три случая.

1) ${p_3}^n=1 (mod 3)$. Тогда $p_1+{p_3}^n=2+{p_3}^n$-делится на три без остатка. Единственное простое число, делящееся на три,это и есть три. Но в таком случае $p_3=1$,то есть не простое число. Значит этот случай невозможен.

2) ${p_3}^n=0 (mod 3)$ .Тогда $p_3=3$ . Если $p_3=3$,то $2+3^n$- простое (по условию ). По найденому выше, $p_2=1 (mod3)$. Из уравнения $p_2+3=2^n (2+3)$ получим, что $2^{n+1}$ имеет остаток один при делении на три. То есть $n$ -нечетное. В силу ограничения $n <11$, находим,что единственное $n$, которое удовлетворяет условию $2+3^n$ - простое, является $n=3$, откуда $p_1=2$ ; $p_2=37$; $p_3=3$; $p=13$; $n=3$ . Легко посчитать, чему равно требуемое выражение.

У меня стоит минус один балл. Можете подсказать где ошибка?

Вообще-то любой зарегистрированный пользователь может ставить минус.

Поэтому нужно найти его. Думаем в скором времени убрать минусовую кнопку, и оставить только плюсовую.

мне кжется потомучто вы забыли про $p_{3}^n\equiv2\pmod{3}$

легко понять что $p_{1}$четное то есть $=2$ и то что $p_{2} \equiv 1 \pmod {3}$,

$p_{2}+p_{3}=2^{n+1}+2^np_{3}$ заметим что если $p_{3} \equiv {1} \pmod {3}$ то таких $p$ нету так как правая часть делится на $3$ а левая нет пусть теперь $p_{3} \equiv 2 \pmod {3}$ но тогда $n$ должно быть нечетным чтобы $2+p_{3}^n=p$ но тогда заметим правая часть не делится на $3$ а левая делится что является противоречием тогда у нас единственое $p_{3}=3$

$p_{2}+3=2^{n+1}+2^n3$ подбирая $n$ можно получить единственные $n=1,2,3$ после этих $n$ $2+3^n \ne p$ разбирая $n=1$ у нас $p_{2}\leq 9$,$n=2$$\rightarrow$ $p_{2}=17$ но $17\equiv 2 \pmod{3}$ а должно $1$ так что $n=3$,$\rightarrow$ $p_{2}=37$,$\rightarrow$ $p=13$ .$2(37*3^3+2^2+3)=2(999+7)=2012$