Математикадан облыстық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Ответ :2012
Решение. Из условия p1+p2=3p понимаем, что одно из чисел p1 и p2 четное. Ведь все простые числа (кроме 2) нечетны, сумма двух нечетных чисел четная,. Однако 3p нечетное. Из условия p2>9, получаем,что четно p1 то есть p1=2, также p2=1(mod3). С учетом полученного 2+p3n- простое; 2+p2=3p . Теперь, учитывая это,рассмотрим три случая.
1) p3n=1(mod3). Тогда p1+p3n=2+p3n-делится на три без остатка. Единственное простое число, делящееся на три,это и есть три. Но в таком случае p3=1,то есть не простое число. Значит этот случай невозможен.
2) p3n=0(mod3) .Тогда p3=3 . Если p3=3,то 2+3n- простое (по условию ). По найденому выше, p2=1(mod3). Из уравнения p2+3=2n(2+3) получим, что 2n+1 имеет остаток один при делении на три. То есть n -нечетное. В силу ограничения n<11, находим,что единственное n, которое удовлетворяет условию 2+3n - простое, является n=3, откуда p1=2 ; p2=37; p3=3; p=13; n=3 . Легко посчитать, чему равно требуемое выражение.
легко понять что p_{1}четное то есть =2 и то что p_{2} \equiv 1 \pmod {3},
p_{2}+p_{3}=2^{n+1}+2^np_{3} заметим что если p_{3} \equiv {1} \pmod {3} то таких p нету так как правая часть делится на 3 а левая нет пусть теперь p_{3} \equiv 2 \pmod {3} но тогда n должно быть нечетным чтобы 2+p_{3}^n=p но тогда заметим правая часть не делится на 3 а левая делится что является противоречием тогда у нас единственое p_{3}=3
p_{2}+3=2^{n+1}+2^n3 подбирая n можно получить единственные n=1,2,3 после этих n 2+3^n \ne p разбирая n=1 у нас p_{2}\leq 9,n=2\rightarrow p_{2}=17 но 17\equiv 2 \pmod{3} а должно 1 так что n=3,\rightarrow p_{2}=37,\rightarrow p=13 .2(37*3^3+2^2+3)=2(999+7)=2012
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.