9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

На доске выписано $n \geqslant 2$ цифр (среди которых есть по крайней мере одна ненулевая; и цифры не обязательно различны). В тетрадь записали сумму всех попарных произведений этих цифр. Может ли Абулмансур составить из всех выписанных на доске цифр натуральное число, которое в точности равно числу, записанному в тетради? ( Хакимгали А. )

Комментарий/решение

Ответ: Отказано!

Пускай на доске $d_1, d_2, \dots, d_n$. Отметим сумму всех попарных произведений за $S$, а через $N$ число Абу. $N = S$. Если бы $n \ge 4$, то $N \ge 10^{n-1}$. Очевидно $S_{\max} = \binom{n}{2} \times 81 = \frac{81n(n-1)}{2} < 10^{n-1}$ - можно доказать индукцией. Если $n = 2$ и написаны $a$ и $b$, то $S = ab$, $N = 10a+b$ или $10b+a$, БОО $10a+b$, откуда из $S = N$: $(a-1)(b-10)=10$, что невозможно кроме $a=b=0$. Если $n = 3$, то если написаны $a,b,c$, $S = ab+bc+ca$, $N = 100a+10b+c$ (БОО), $N \ge 100$, $S \le 3 \times 9^2 = 243$, значит $a = 1$ или $2$. При $a = 1$: $100 + 10b + c = bc + b + c \iff 100 \le 100 + 9b = bc \le 81$ - противоречие. При $a = 2$: $200 + 10b + c = bc + 2b + 2c$, $10 > c = 8 + \frac{192}{b+1} \ge 8 + \frac{192}{10} > 10$ - противоречие.