9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Тақтаға $n\ge 2$ цифр жазылған (олардың арасында кемінде бір нөлден өзге цифр бар, әрі цифрлар міндетті түрде әртүрлі емес). Дәптерге осы цифрлардың барлық жұптарын алып, әр жұптағы екі цифрдың көбейтінділерінің қосындысы жазылды. Абулмансур тақтадағы барлық цифрларды пайдаланып, дәптерде жазылған санға дәл тең болатын натурал сан құрастыра ала ма? ( Хакимгали А. )

Комментарий/решение

Ответ: Отказано!

Пускай на доске $d_1, d_2, \dots, d_n$. Отметим сумму всех попарных произведений за $S$, а через $N$ число Абу. $N = S$. Если бы $n \ge 4$, то $N \ge 10^{n-1}$. Очевидно $S_{\max} = \binom{n}{2} \times 81 = \frac{81n(n-1)}{2} < 10^{n-1}$ - можно доказать индукцией. Если $n = 2$ и написаны $a$ и $b$, то $S = ab$, $N = 10a+b$ или $10b+a$, БОО $10a+b$, откуда из $S = N$: $(a-1)(b-10)=10$, что невозможно кроме $a=b=0$. Если $n = 3$, то если написаны $a,b,c$, $S = ab+bc+ca$, $N = 100a+10b+c$ (БОО), $N \ge 100$, $S \le 3 \times 9^2 = 243$, значит $a = 1$ или $2$. При $a = 1$: $100 + 10b + c = bc + b + c \iff 100 \le 100 + 9b = bc \le 81$ - противоречие. При $a = 2$: $200 + 10b + c = bc + 2b + 2c$, $10 > c = 8 + \frac{192}{b+1} \ge 8 + \frac{192}{10} > 10$ - противоречие.