Областная олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс

На каждой стороне треугольника выбрано по $p - 1$ точек, делящих сторону на $p$ равных частей. Все точки деления соединены отрезками с противолежащими вершинами треугольника. На какое наименьшее число частей разбивается треугольник этими отрезками, если известно, что $p$ — простое число?

Комментарий/решение

Ответ: $\;\;\;\;3p^2-3p+1$

Решение

1)Пусть есть $\Delta ABC$ (см рис 1). Проведем $p-1$ лучей из вершины $A$. Тогда треугольник поделится на $p$ частей.

2)Теперь, тоже проделаем с вершиной $C$. Каждый из $p$ треугольников разбиения (1), разобьётся еще на $p$ частей (см рис 2). Таким образом, уже произошло деление на $p\cdot p = p^2$ частей.

3)Далее, проведем луч $BB_1$. Он увеличит количество частей на $2p-1$. Это утверждение нуждается в доказательстве, но я пока не знаю как доказать.

4)Таких лучей $BB_i$ проведем $p-1$ штук, как по условию. Каждый из лучей увеличит количество частей на $2p-1$. Отсюда общее количество частей

$$p^2+(2p-1)(p-1) = 3p^2-3p+1$$