Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып


Үшбұрыштың әрбір қабырғасынан сол қабырғаны тең p бөлікке бөлетін p1 нүкте алынған. Бұл нүктелердің әрқайсысы үшбұрыштың қарсы жатқан төбесімен кесінділермен қосылған. Егер p-ның жай сан екені белгілі болса, бұл кесінділер, кем дегенде, үшбұрышты қанша бөлікке бөледі?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
1 года 10 месяца назад #

Ответ: 3p23p+1

Решение

1)Пусть есть ΔABC (см рис 1). Проведем p1 лучей из вершины A. Тогда треугольник поделится на p частей.

2)Теперь, тоже проделаем с вершиной C. Каждый из p треугольников разбиения (1), разобьётся еще на p частей (см рис 2). Таким образом, уже произошло деление на pp=p2 частей.

3)Далее, проведем луч BB1. Он увеличит количество частей на 2p1. Это утверждение нуждается в доказательстве, но я пока не знаю как доказать.

4)Таких лучей BBi проведем p1 штук, как по условию. Каждый из лучей увеличит количество частей на 2p1. Отсюда общее количество частей

p2+(2p1)(p1)=3p23p+1