Математикадан облыстық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып
Үшбұрыштың әрбір қабырғасынан сол қабырғаны тең p бөлікке бөлетін p−1 нүкте алынған. Бұл нүктелердің әрқайсысы үшбұрыштың қарсы жатқан төбесімен кесінділермен қосылған. Егер p-ның жай сан екені белгілі болса, бұл кесінділер, кем дегенде, үшбұрышты қанша бөлікке бөледі?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ: 3p2−3p+1
Решение
1)Пусть есть ΔABC (см рис 1). Проведем p−1 лучей из вершины A. Тогда треугольник поделится на p частей.
2)Теперь, тоже проделаем с вершиной C. Каждый из p треугольников разбиения (1), разобьётся еще на p частей (см рис 2). Таким образом, уже произошло деление на p⋅p=p2 частей.
3)Далее, проведем луч BB1. Он увеличит количество частей на 2p−1. Это утверждение нуждается в доказательстве, но я пока не знаю как доказать.
4)Таких лучей BBi проведем p−1 штук, как по условию. Каждый из лучей увеличит количество частей на 2p−1. Отсюда общее количество частей
p2+(2p−1)(p−1)=3p2−3p+1
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.