Областная олимпиада по математике, 2012 год, 10 класс

Найдите наибольшее натуральное число $n$, обладающее тем свойством, что оно делится на все натуральные числа, не превосходящие $\sqrt[3]{n}$.

Комментарий/решение

Пусть $m = \lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor$. Положим $m \ge 8$. Тогда $n$ делится на $\operatorname{lcm}(1,2,\dots,6,7,8)=840$. Тогда $n \ge 840$, т.е. $\sqrt[3]{n} \ge \sqrt[3]{840} > 9$, т.е. $9 \mid n$, откуда $n$ кратно $3 \times 840 = 2520$. Докажем, что при $n > 2000$ выйдет противоречие. При $\forall x \ge 5$ верно $2(x-1)^3 > x^3$, т.е. $\lfloor x \rfloor^3 > x^3/3$. Значит при $n > 2000$, $m^3 > n/2$. Пусть $p_i$ --- максимальная степень числа $i$, не превышающая $m$. Тогда $p_i > m/i$. Тогда $p_2 \times p_3 \times p_5 > m^3/30 > n/60$. Но поскольку $n > 2000$, $n > 11^3 > 7^3$, откуда следует, что все $p_2, p_3, p_5, p_7, p_{11} < n$. Но $77 \times p_2 \times p_3 \times p_5 > n$ --- противоречие. Итак, $m \le 7$. Не трудно убедиться, что $m = 7$ подходит, а тогда ответ $n = \operatorname{lcm}(1,2,\dots,7) = 420$.