Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур заключительного этапа

Сыныпта 6-дан көп, бірақ 60-тан аз оқушы бар және сыныпта 7 үйірме ұйымдастырылған. Әрбір оқушы бірдей мөлшерде үйірмеге қатысады. Кез келген екі үйірме үшін, осы үйірменің екеуіне де баратын дәл үш оқушы табылады. Осындай сыныпта қанша оқушы болуы мүмкін? ( Ф. Фот )

Комментарий/решение

Заметим что общее колво всех пересечений пар кружков равно

$$\binom{7}{2}*3=63$$

С другой стороны, так как каждый ученик вносит одинаковый “вклад” в эти пересесения, общее колво равно

$$k*\frac{r(r-1)}{2}$$

Где k-колво учеников, а r-колво кружков, куда ходит один ученик.

Отсюда, 126 делится на r(r-1), значит r=2,3,7.

$$r=2: 126/2=63$$

$$r=3: 126/6=21$$

$$r=7: 126/42=3 $$

По условию r=2,7 не выходят, т.е. ответ 21, пример находится лгеко