қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур заключительного этапа
Задача №1. Назовем натуральное число $k$-хорошим, если оно представимо в виде суммы $k$ последовательных натуральных чисел. Учитель попросил Васю придумать число $n$, и обещал поставить по пятерке за каждое $k$, большее 1 и меньшее 7, при котором $n$ окажется $k$-хорошим. Какое наибольшее число пятерок мог получить Вася?
(
Методическая комиссия Эйлера
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В классе учится больше 6, но меньше 60 учеников, и в нём организовано семь кружков. Каждый ученик класса посещает одинаковое количество кружков. Известно, что для любых двух кружков найдутся ровно три ученика, которые посещают их оба. Сколько учеников может быть в таком классе?
(
Ф. Фот
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Неотрицательные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $a^2+b^2+c^2 = a+b+c$. Докажите, что $$\frac{(a-1)^{2}}{b+c+1}+\frac{(b-1)^{2}}{c+a+1}+\frac{(c-1)^{2}}{a+b+1} \leqslant \frac{3}{1+a+b+c}.$$
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Дана замкнутая тысячезвенная ломаная, в которой длины всех звеньев равны, никакие два конца несоседних звеньев не совпадают и никакой конец одного из звеньев не лежит внутри другого звена. При каком наибольшем $k$ может случиться, что каждое звено пересекает хотя бы $k$ из оставшихся звеньев под прямым углом?
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение
комментарий/решение