Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур заключительного этапа

В классе учится больше 6, но меньше 60 учеников, и в нём организовано семь кружков. Каждый ученик класса посещает одинаковое количество кружков. Известно, что для любых двух кружков найдутся ровно три ученика, которые посещают их оба. Сколько учеников может быть в таком классе? ( Ф. Фот )

Комментарий/решение

Заметим что общее колво всех пересечений пар кружков равно

$$\binom{7}{2}*3=63$$

С другой стороны, так как каждый ученик вносит одинаковый “вклад” в эти пересесения, общее колво равно

$$k*\frac{r(r-1)}{2}$$

Где k-колво учеников, а r-колво кружков, куда ходит один ученик.

Отсюда, 126 делится на r(r-1), значит r=2,3,7.

$$r=2: 126/2=63$$

$$r=3: 126/6=21$$

$$r=7: 126/42=3 $$

По условию r=2,7 не выходят, т.е. ответ 21, пример находится лгеко