Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур заключительного этапа

Дана замкнутая тысячезвенная ломаная, в которой длины всех звеньев равны, никакие два конца несоседних звеньев не совпадают и никакой конец одного из звеньев не лежит внутри другого звена. При каком наибольшем $k$ может случиться, что каждое звено пересекает хотя бы $k$ из оставшихся звеньев под прямым углом? ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Ответ. При \(k = 250\).

Оценка. Допустим, все звенья ломаной параллельны двум взаимно перпендикулярным прямым. Тогда все звенья ломаной являются сторонами квадратов некоторой квадратной сетки, и никакие два звена не могут пересекаться в точках, отличных от своих концов, то есть \(k=0\). В противном случае существуют по крайней мере четыре попарно не параллельные прямые, каждой из которых параллельно некоторое количество звеньев ломаной. Среди этих прямых найдется такая, которой параллельно не более 250 звеньев. Тогда каждое звено, перпендикулярное этой прямой, пересечено перпендикулярным звеном не более 250 раз. Таким образом, \(k \le 250\).Пример. Возьмем квадрат со стороной 125. Каждую его сторону разделим на 125 отрезков длины 1 и на каждом отрезке, как на основании, построим равнобедренный треугольник с высотой 125, направленной внутрь квадрата. Ломаная, образованная боковыми сторонами этих треугольников искомая