Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур заключительного этапа

Буын ұзындықтары бірдей 1000 буынды тұйық сынық берілген. Оның көрші емес кез келген екі буынының ұштары беттеспейді және ешқандай буынның ұшы басқа буынның ішінде жатпайды. $k$-ның қандай ең үлкен мәнінде, әрбір буын қалған буындардың кемінде $k$-сымен тік бұрыш жасап қиылыса алады? ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Ответ. При \(k = 250\).

Оценка. Допустим, все звенья ломаной параллельны двум взаимно перпендикулярным прямым. Тогда все звенья ломаной являются сторонами квадратов некоторой квадратной сетки, и никакие два звена не могут пересекаться в точках, отличных от своих концов, то есть \(k=0\). В противном случае существуют по крайней мере четыре попарно не параллельные прямые, каждой из которых параллельно некоторое количество звеньев ломаной. Среди этих прямых найдется такая, которой параллельно не более 250 звеньев. Тогда каждое звено, перпендикулярное этой прямой, пересечено перпендикулярным звеном не более 250 раз. Таким образом, \(k \le 250\).Пример. Возьмем квадрат со стороной 125. Каждую его сторону разделим на 125 отрезков длины 1 и на каждом отрезке, как на основании, построим равнобедренный треугольник с высотой 125, направленной внутрь квадрата. Ломаная, образованная боковыми сторонами этих треугольников искомая