Республиканская олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс

Дөңес $ABCD$ төртбұрышының $AC$ және $BD$ диагональдары $E$ нүктесінде қиылысады. $I_1, I_2, I_3, I_4$ — сәйкесінше $ABE$, $BCE$, $CDE$, $DAE$ үшбұрыштарының іштей сызылған шеңберлерінің центрлері, ал $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4$ — сәйкесінше $ABI_1$, $BCI_2$, $CDI_3$, $DAI_4$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері. $M$ және $N$ — сәйкесінше $AC$ және $BD$ диагональдарының орталары. Егер $M\ne N$ болса, онда $MN$ түзуінің бойында $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ және $\omega_4$ шеңберлеріне қатысты нүкте дәрежелері тең болатын $P$ нүктесі табылатынын дәлелдеңіз. (Центрі $O$ және радиусы $r$ болатын шеңберге қатысты $X$ нүктесінің дәрежесі $OX^2 - r^2$ шамасына тең.) ( Зауытхан А., Кеңшілік Е. )