Областная олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Проведем высоту AH на гипотенузу BC.Пусть AH и CM пересекаются в точке D , а AP и CM в точке Q. ◻AQHC вписанный четырехугольник так как ∠AQC=∠AHC=90∘ которые опираются на дугу ⌢AC.Пусть ∠MCH=∠HAP=α. Так как △ABC равнобедренный , то ∠ABC=∠ACB=45 , значит ∠ACM=45−α, BH=AH=HC , тогда ∠BAH=∠ABH=∠HAC=∠AHC=45∘.Откуда следует что , ∠BAP=45−α. По признаку равенства стороны и двум прилежащим к ней углам △ADC=△BPA, поэтому AD=BP , из чего исходит следующее равенство треугольников MBP и MAD, так как AM=BM,AD=BP и углы между ними ∠MBP и ∠MAD равны 45∘.Поэтому ∠BMP=∠AMC
(с)Ахмедияр
Пусть C′ такой что ABCC′ - параллелограмм, тогда M - точка пересечения диагоналей и ω окружность описанная около ABC с центром O и T∈ω∩AO так же D∈AP∩C′T значит ABCT - квадрат и C′ABP вписанный так как ∠ANC′=∠ABC′=90∘ получается ∠C′AB=∠C′BN=∠MNB=45∘ так же MNBD вписанный, тогда ∠MNB=∠MDB=45∘ значит AT||MD откуда D середина BT значит M,P,T лежат на одной прямой , учитывая C′B=BT=AC получается C′M=TM тогда ∠AMC=∠C′MB=∠BMP
Идея ваша прекрасная.Очень логично и понятно, супер! Вы могли откоротить решение
Пусть AP∩CM−F, а G - середина CF. Тогда проведем прямую, которая парралельна AP, и которая проходит через G. Очевидно, что она проходит через середину AC. Назовем её - X. А ещё, эта прямая будет пересекать BC в точке T. Пусть эта прямая пересекает прямую AB в точке Y. Счетом углов, несложно понять, что △AMC=△AXY. Значит AP - средняя линия треугольника △BYT, ведь она парралельна YT, и проходит через середину BY, значит BP=PT. XT - средняя линия △APC, ведь парралельна AP и делит AC пополам. Значит PT=TC. Тогда треугольники △MBP∼△ACP. А с этого выходит, что ∠BMP=∠CAP. У нас ещё △FAM∼△FCA, что говорит о равенстве углов ∠FAC=∠AMC,∠BMP=∠PAC=∠FAC⇒∠AMC=∠BMP.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.