Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс


Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. Пусть M — середина катета AB. Прямая, проходящая через A перпендикулярно CM, пересекает гипотенузу BC в точке P. Докажите, что AMC=BMP.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   3
5 года 5 месяца назад #

Докажем что ΔMBP,ΔACP подобны, пусть это так, тогда из подобияAPPM=2, пусть C такой что ABCC - параллелограмм, тогда M - точка пересечения диагоналей, пусть DAPBC тогда APPM=CEDE=CEAE=ACAM=2 что верно, откуда AMC=BMP.

пред. Правка 2   5
3 года 1 месяца назад #

Проведем высоту AH на гипотенузу BC.Пусть AH и CM пересекаются в точке D , а AP и CM в точке Q. AQHC вписанный четырехугольник так как AQC=AHC=90 которые опираются на дугу AC.Пусть MCH=HAP=α. Так как ABC равнобедренный , то ABC=ACB=45 , значит ACM=45α, BH=AH=HC , тогда BAH=ABH=HAC=AHC=45.Откуда следует что , BAP=45α. По признаку равенства стороны и двум прилежащим к ней углам ADC=BPA, поэтому AD=BP , из чего исходит следующее равенство треугольников MBP и MAD, так как AM=BM,AD=BP и углы между ними MBP и MAD равны 45.Поэтому BMP=AMC

(с)Ахмедияр

  5
3 года 1 месяца назад #

Пусть C такой что ABCC - параллелограмм, тогда M - точка пересечения диагоналей и ω окружность описанная около ABC с центром O и TωAO так же DAPCT значит ABCT - квадрат и CABP вписанный так как ANC=ABC=90 получается CAB=CBN=MNB=45 так же MNBD вписанный, тогда MNB=MDB=45 значит AT||MD откуда D середина BT значит M,P,T лежат на одной прямой , учитывая CB=BT=AC получается CM=TM тогда AMC=CMB=BMP

  2
6 месяца 29 дней назад #

D - такой что ABDC квадрат. E - середина BC. Заметим что AE MC (AMC+BAE=90). Тогда PBCAE. Остается доказать что DM,BC,AE пересекается в точке P. А это верно ведь точка P пересечение медиан треугольника BAD.

  0
1 месяца 23 дней назад #

Идея ваша прекрасная.Очень логично и понятно, супер! Вы могли откоротить решение

пред. Правка 2   0
1 месяца 16 дней назад #

пред. Правка 2   0
1 месяца 14 дней назад #

пред. Правка 3   2
1 месяца 13 дней назад #

Пусть APCMF, а G - середина CF. Тогда проведем прямую, которая парралельна AP, и которая проходит через G. Очевидно, что она проходит через середину AC. Назовем её - X. А ещё, эта прямая будет пересекать BC в точке T. Пусть эта прямая пересекает прямую AB в точке Y. Счетом углов, несложно понять, что AMC=AXY. Значит AP - средняя линия треугольника BYT, ведь она парралельна YT, и проходит через середину BY, значит BP=PT. XT - средняя линия APC, ведь парралельна AP и делит AC пополам. Значит PT=TC. Тогда треугольники MBPACP. А с этого выходит, что BMP=CAP. У нас ещё FAMFCA, что говорит о равенстве углов FAC=AMC,BMP=PAC=FACAMC=BMP.