Республиканская олимпиада по математике, 2026 год, 10 класс

Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Пусть $I_1, I_2, I_3, I_4$ — центры вписанных окружностей треугольников $ABE$, $BCE$, $CDE$, $DAE$ соответственно, а $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4$ — описанные окружности треугольников $ABI_1$, $BCI_2$, $CDI_3$, $DAI_4$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Докажите, что если $M\ne N$, то на прямой $MN$ существует такая точка $P$, что степень точки $P$ относительно $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ и $\omega_4$, равны. (Степенью точки $X$ относительно окружности с центром $O$ и радиуса $r$ называется величина $OX^2-r^2$.) ( Зауытхан А., Кеңшілік Е. )