Областная олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс

Пусть $ABC$ — треугольник с целочисленными длинами сторон. Биссектриса, проведенная из вершины $B$, и высота, опущенная из вершины $C$, пересекаются внутри треугольника в точке $P$. Докажите, что отношение площадей треугольников $APB$ и $APC$ — рациональное число.

Комментарий/решение

Если $X$ пересечения $CP \cap AB$ , получим что $N=\dfrac{S_{APB}}{S_{APC}}=\dfrac{PX}{CP} \cdot \dfrac{AB}{AX}$. Учитывая что $\dfrac{BX}{BC}=\dfrac{PX}{CP}$ , получим $N=\dfrac{AB}{BC} \cdot \dfrac{BX}{AX}$. Рациональность $\dfrac{BX}{AX}$ , следует из $\dfrac{BX}{CX}=\dfrac{BC \cdot cos \angle B}{AC \cdot cos \angle A}=\dfrac{AC^2-BC^2-AB^2}{BC^2-AC^2-AB^2}$. Стороны целые , значит $\dfrac{BX}{CX}$ рациональное число.