Математикадан облыстық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 11 сынып

$ABC$ үшбұрышының қабырғаларының ұзындықтары бүтін сандар болсын. $B$ төбесінен түсірілген биссектриса мен $C$ төбесінен түсірілген биіктік үшбұрыш ішінде $P$ нүктесінде қиылысады. $APB$ үшбұрышының ауданының $APC$ үшбұрышының ауданына қатынасы рационал сан екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Если $X$ пересечения $CP \cap AB$ , получим что $N=\dfrac{S_{APB}}{S_{APC}}=\dfrac{PX}{CP} \cdot \dfrac{AB}{AX}$. Учитывая что $\dfrac{BX}{BC}=\dfrac{PX}{CP}$ , получим $N=\dfrac{AB}{BC} \cdot \dfrac{BX}{AX}$. Рациональность $\dfrac{BX}{AX}$ , следует из $\dfrac{BX}{CX}=\dfrac{BC \cdot cos \angle B}{AC \cdot cos \angle A}=\dfrac{AC^2-BC^2-AB^2}{BC^2-AC^2-AB^2}$. Стороны целые , значит $\dfrac{BX}{CX}$ рациональное число.