22-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2026 год

Натуральное число $n$ можно представить и в виде $[a\sqrt{10}]$ с некоторым натуральным $a$, и в виде $[b\sqrt{11}]$ с некоторым натуральным $b$. Докажите, что $n$ можно представить в виде $[c(11\sqrt{10}-10\sqrt{11})]$ с некоторым натуральным $c$. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Не сложно убедится что с = а + b подходит

Почему.

Переформулируем условие:

$(1): n<a\sqrt{10}<n+1$

$(2): n<b\sqrt{11}<n+1$

Тогда если умножим неравенство $(1)$ на $\sqrt{11}$, а неравенство $(2)$ в $\sqrt{10}$ и прибавим, то выйдет:

$$n(\sqrt{10}+\sqrt{11})<(a+b)\sqrt{110}<(n+1)(\sqrt{10}+\sqrt{11}) \Longleftrightarrow$$

$$n<(a+b)(11\sqrt{10}-10\sqrt{11})<n+1$$.

Значит $c=a+b$ подходит.