22-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2026 год

Қандай да натурал $n$ санын $[a\sqrt{10}]$ түрінде де, сондай-ақ $[b\sqrt{11}]$ түрінде де өрнектеуге болады, бұл жерде $a$, $b$ — қандай да натурал сандар. Осы $n$ санын $[c(11\sqrt{10}-10\sqrt{11})]$ түрінде де өрнектеуге болатынын дәлелдеңіз, бұл жерде $c$ — қандай да натурал сан. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Не сложно убедится что с = а + b подходит

Почему.

Переформулируем условие:

$(1): n<a\sqrt{10}<n+1$

$(2): n<b\sqrt{11}<n+1$

Тогда если умножим неравенство $(1)$ на $\sqrt{11}$, а неравенство $(2)$ в $\sqrt{10}$ и прибавим, то выйдет:

$$n(\sqrt{10}+\sqrt{11})<(a+b)\sqrt{110}<(n+1)(\sqrt{10}+\sqrt{11}) \Longleftrightarrow$$

$$n<(a+b)(11\sqrt{10}-10\sqrt{11})<n+1$$.

Значит $c=a+b$ подходит.