Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 10 класс

a) Сколько всего пар натуральных чисел $(m, n)$ существует таких, что их наименьшее общее кратное равно $15$, то есть $\text{НОК}[m, n] = 15$?
   b) Сколько всего пар натуральных чисел $(m, n)$ существует таких, что их наименьшее общее кратное равно $2025$, то есть $\text{НОК}[m, n] = 2025$?

Комментарий/решение

а) просто посчитаем варианты это 8

b)возьмем число m и n как (3^a)×(5^b), (3^c)×(5^d)

Так же заметим что 2025=3⁴×5² =>а;с=4, b;d=2

1)a=4 =>c=0,1,2,3,4

2)c=4 =>a=0,1,2,3

Общий варианты а и с 5+4=9

1)b=2 =>d=0,1,2

2)d=2 =>b=0,1

Также вариантов 3+2=5

Значит всего пар 5×9=45