Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 10 класс

Даны неотрицательные действительные числа $a, b$ для которых $a+b=1$. Докажите, что $$\frac{a^2+b^2}{2} \le a^3+b^3\le a^2+b^2 .$$

Комментарий/решение

Заметим что из 2ab <= a² + b² следует 2(a² - ab + b²) >= a² + b², откуда a² + b² <= 2(a³+b³)/(a+b), но a + b = 1, получаем (a² + b²)/2 <= a³ + b³.

Так как a,b >= 0, то 0 <= a = a+b-b = 1-b <= 1, потому a³ <= a². Аналогично b³ <= b²

{ (a² + b²) /2 ≤ a³ + b³ ≤ a2 + b²

{ (a + b) = 1, где a, b ≥ 0

Подставляем

a²+b² = a² + (1-a)²

a³ + b³ = a³ + (1-a)³

Теперь раскрываем скобки

(1-a)² = (1-a)*(1-a) = 1²-a-a+a² = 1-2a+a²

(1-a³)=(1-a)*(1-a)*(1-a)

Можно решить напрямую, но я лучше через бином Ньютона

C(3/0)= C(3/3) = 1

C(3/1)= C(3/2) = 3 (я пишу так, т.к. лень расписывать

(1-a)³ = (C*1³*-a⁰) +(C*1²*-a¹) + (C*1¹*-a²) + (C*1⁰*-a³) = (1*1*1) + (3*1*-a) + (3*1*a²) + (1*1*-a³) = 1-3a+3a²+a³

Все, теперь можно подставлять

(a² +1-2a+a²) /2 ≤

≤ a³ +1-3a+3a²-a³ ≤

≤ a² +1-2a+a²)

Следовательно

a²-a+0.5(я сразу и делил) ≤

≤ 3a²-3a+1 ≤

≤ 2a²-2a+1

Теперь уберем левую часть отняв к уравнению (a²-a+0.5)

0 ≤ 2a² -2a + 0.5 ≤ a²-a+0.5

Отнимем 0.5

-0.5 ≤ 2(a²-a) ≤ (a²-a)

Теперь разберем их по отдельности

Т.к. a+b=1, и они оба натуральные, значит a лежит в периоде [0;1]

И равенство 2(a²-a)≤(a²-a) выполняется только в том случае, если а ≤ 1, ведь при умножении на 2 член (а²-а) должен не увеличиваться, а только оставаться тем же или уменьшаться, а возможно это только если а² ≤ а, что может быть только в промежутке а[0;1]

Значит условие выполняется

Теперь дальше

-0.5 ≤ 2(а²-а)

-0.25 ≤ а² - а

-а² + а -0.25 ≤ 0

а² - а + 0.25 ≥ 0

По фсу

(a - 0.5)² ≥ 0

Любое число в квадрате будет положительным, а значит условие выполняется

$$ \frac{a^2+b^2}{2} \leq a^3+b^3 \leq a^2+b^2 $$

Дәлелдеуі:

$$ (a+b)^2 = (a+b)^3 = 1, \quad өйткені \quad a + b = 1 $$

1) $$ a^2+b^2 = 1 - 2ab, \quad ab = \frac{1 - a^2 - b^2}{2} $$

$$ a^3+b^3 = 1 - 3ab(a+b), \quad ab = \frac{1 - a^3 - b^3}{3} $$

$$ \frac{1 - a^2 - b^2}{2} = \frac{1 - a^3 - b^3}{3}, \quad мұнда \quad a + b = 1 $$

2) а) жағдай:

$$ \frac{1}{2} (a^2 + b^2) \leq 1 - \frac{3(1 - a^2 - b^2)(a+b)}{2}, $$

бұдан

$$ a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}, $$

немесе

$$ \frac{1}{2} (a^2 + b^2) \leq 1 - \frac{3(1 - a^3 - b^3)(a+b)}{3}, $$

ендеше

$$ (a - b)^2 \geq 0, \quad яғни \quad a \geq b, $$

әйтпесе

$$ a < b, $$

ә) жағдай:

$$ \frac{1 - 2ab}{2} \leq 1 - 3ab(a + b), $$

осыдан

$$ ab \leq \frac{1}{4} $$

3) а) жағдай:

$$ 1 - \frac{3(1 - a^2 - b^2)(a+b)}{2} \leq a^2 + b^2, $$

демек,

$$ a^2 + b^2 \leq 1, $$

немесе

$$ 1 - \frac{3(1 - a^3 - b^3)(a+b)}{3} \leq a^2 + b^2, $$

бұдан -ав<=0

ә) жағдай:

$$ 1 - 3ab(a + b) \leq 1 - 2ab, $$

олай болса,

$$ ab \geq 0. $$

Сонымен,

$$ a = b = \frac{1}{2}, \quad a = 1, \quad b = 0, \quad a = 0, \quad b = 1. $$

$$ 0 \leq ab \leq \frac{1}{4}, $$

$$ \frac{1}{2} \leq a^2 + b^2 \leq 1. $$

Қорытынды:

$$ \frac{a^2 + b^2}{2} \leq a^3 + b^3 \leq a^2 + b^2 $$

қос теңсіздік орындалады.

Амангелді Садыков