Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 10 класс

$a+b=1$ болатын теріс емес $a, b$ нақты сандары берілген. Дәлелдеңіз: $$\frac{a^2+b^2}{2} \le a^3+b^3 \le a^2+b^2 .$$

Комментарий/решение

Заметим что из 2ab <= a² + b² следует 2(a² - ab + b²) >= a² + b², откуда a² + b² <= 2(a³+b³)/(a+b), но a + b = 1, получаем (a² + b²)/2 <= a³ + b³.

Так как a,b >= 0, то 0 <= a = a+b-b = 1-b <= 1, потому a³ <= a². Аналогично b³ <= b²

{ (a² + b²) /2 ≤ a³ + b³ ≤ a2 + b²

{ (a + b) = 1, где a, b ≥ 0

Подставляем

a²+b² = a² + (1-a)²

a³ + b³ = a³ + (1-a)³

Теперь раскрываем скобки

(1-a)² = (1-a)*(1-a) = 1²-a-a+a² = 1-2a+a²

(1-a³)=(1-a)*(1-a)*(1-a)

Можно решить напрямую, но я лучше через бином Ньютона

C(3/0)= C(3/3) = 1

C(3/1)= C(3/2) = 3 (я пишу так, т.к. лень расписывать

(1-a)³ = (C*1³*-a⁰) +(C*1²*-a¹) + (C*1¹*-a²) + (C*1⁰*-a³) = (1*1*1) + (3*1*-a) + (3*1*a²) + (1*1*-a³) = 1-3a+3a²+a³

Все, теперь можно подставлять

(a² +1-2a+a²) /2 ≤

≤ a³ +1-3a+3a²-a³ ≤

≤ a² +1-2a+a²)

Следовательно

a²-a+0.5(я сразу и делил) ≤

≤ 3a²-3a+1 ≤

≤ 2a²-2a+1

Теперь уберем левую часть отняв к уравнению (a²-a+0.5)

0 ≤ 2a² -2a + 0.5 ≤ a²-a+0.5

Отнимем 0.5

-0.5 ≤ 2(a²-a) ≤ (a²-a)

Теперь разберем их по отдельности

Т.к. a+b=1, и они оба натуральные, значит a лежит в периоде [0;1]

И равенство 2(a²-a)≤(a²-a) выполняется только в том случае, если а ≤ 1, ведь при умножении на 2 член (а²-а) должен не увеличиваться, а только оставаться тем же или уменьшаться, а возможно это только если а² ≤ а, что может быть только в промежутке а[0;1]

Значит условие выполняется

Теперь дальше

-0.5 ≤ 2(а²-а)

-0.25 ≤ а² - а

-а² + а -0.25 ≤ 0

а² - а + 0.25 ≥ 0

По фсу

(a - 0.5)² ≥ 0

Любое число в квадрате будет положительным, а значит условие выполняется