12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, третья лига, 11-12 классы

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB=AC$. Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $BC$ так, что $\angle MAN=\frac{1}{2}\angle BAC$, причём $M$ лежит между $B$ и $N$. Пусть $P$ — центр описанной окружности треугольника $AMN$. Серединные перпендикуляры к $AM$ и $AN$ пересекают $BC$ в точках $R$ и $Q$ соответственно. Точка $S$ лежит на прямой $PR$, а $T$ на прямой $PQ$ так, что $ST \perp PA$. Точки $K$ и $L$ симметричны точке $A$ относительно прямых $QS$ и $RT$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $CMK$ и $BNL$ пересекаются на серединном перпендикуляре отрезка $BC$.