Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур дистанционного этапа

На 2025 досках написали по натуральному числу. Разрешается проделывать такую операцию: на одной из досок вместо написанного на ней числа записать его куб, а на каждой из остальных досок вместо написанного на ней числа записать в три раза меньшее число, если оно является целым (если хотя бы одно из чисел после деления на 3 становится нецелым, операция невозможна!). Можно ли написать такие числа и проделать несколько (не меньше одной) операций так, чтобы после последней операции на каждой доске оказалось исходное число? ( С. Берлов, А. Голованов )

Комментарий/решение

Ответ: Да, может

Пример: пусть на k-той доске стоит число $$3^{k+1011}$$

Достаточно, “кубировать” число на k-той доске на k-той операции. Т.е. это число сначала поделистя на 3 k-1 раз, а затем кубируется и потом поделится на 3 2025-k раз. Проверим, то что этот пример верен.

Т.е. Получим:

$$3^{3(k+1011-k+1)}:3^{2025-k}=3^{k+1011} \Rightarrow$$

$$3k+3033-3k+3-2025+k=k+1011 \Rightarrow 0=0$$ чтд

Да, можно.

Почему

Есептің шарты бойынша бұл операцияны орындау арқылы бастапқы сандарды қалпына келтіруге болады. Мысалы, тақталардың біріне 3^{k+1011} санын қойып (мұндағы k — операция нөмірі), кубтау және 3-ке бөлу амалдарын кезекпен қолдану арқылы қажетті нәтижеге қол жеткізуге болады, яғни операция соңында әр тақтада бастапқы сан қайта пайда болады.

3k+3033-3k+3-2025+k=k+1011=>0=0

Ответ:

Да, можно.