Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2023 год

Внутри треугольника $A B C$ нашлась такая точка $L$, что $C L=A B$ и $\angle B A C+\angle B L C=180^{\circ}$. Прямая, параллельная прямой $B C$ и проходящая через точку $L$, пересекает сторону $A C$ в точке $K$. Докажите, что $A B=B K$. ( А. Антропов )

Комментарий/решение

Так как $\sin BLC = \sin BAC \Rightarrow \frac{BC}{\sin BLC} = \frac{BC}{\sin BAC} = \frac{CL}{\sin LBC} = \frac{AB}{\sin BCA} \Rightarrow \sin BCA = \sin LBC$.

BL не парарелен $AC$, так как $L$ внутри треугольника, значит $LBC = BCA \Rightarrow BLKC$ равнобокая трапеция $\Rightarrow CL = BK = AB$.

Рассмотрим равнобокую трапецию $ABDC$.

По условию имеем, что D и L симметричны относительно BC.

Тогда $$\angle LBC = \angle CBD = \angle BCK$$

Значит $$KC = BL = BD$$ , $BDCK$ - параллелограмм. Тогда $$AB = DC = BK$$