Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2023-2024 учебный год. 7 класс.

$ABCD$ прямоугольник. Точка $P$ – середина стороны $AB$. Из точки $C$ опустили перпендикуляр $CQ$ на прямую $PD$. Докажите, что $BQ=AD$.

Комментарий/решение

Достроим линии вне квадрата, как продолжение сторон DP и CB. Пусть они пересекутся в точке Х. Тогда отрезки ХР и DP будут равны по 2 признаку равенства треугольников(Если у одного треугольника сторона и два прилежащих к нему угла соответсвенно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны).

XB=AD, a AD=BC → XB=BC. Рассмотрим треугольник XQC. Он прямоугольный. Если присмотреться, то можно увидеть отрезок BQ, которая является медианой гипотенузы. А как мы знаем, медиана, проведенная от вершины к гипотенузе будет равна половине этой гипотенузы. → BQ=BC, a BC=AD. → BQ=AD.

Чтд.