Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2023-2024 учебный год. 7 класс.

$x^2 + 12xy + 52y^2 - 8y+ 1 = 0$ теңдеуiн қанағаттандыратын барлық $(x, y)$ нақты сандар жұбын табыңыз.

Комментарий/решение

Ответ:(-1.5;0.25)

Заметим, что до полного квадрата выражения (х+6у) не хватает 36у^2, которая содержится в 52у^2. Выделим его: (х^2+12ху+36у^2)+16ху-8у+1=0

И можно заметить, что при этом выражение 16у^2-8у=1 тоже сворачивается в квадрат. Отметим его, а также предыдущий квадрат: (х+6у)^2+(4у-1)^2=0. Важно отметить, что каждое выражение должно равняться нулю, так как квадрат делает число положительным, т.е нельзя взять 1 и -1 т.к любая из выражений под квадратом дадут положительное выражение. Приравняем их к нулю:

(4у-1)^2=0

(х+6у)^2=0

Решим первое:

(4у-1)^2=0 /корень квадратный

4у-1=0 → 4у=1 → у=0.25

Решим второе:

(х+6у)^2=0

(х+1.5)^2=0 /корень квадратный (вместо у подставили 0.25)

х+1,5=0

х=-1.5.