Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2025 год. Косово

Пусть $n > 1$ — целое число. В конфигурации доски размера $n \times n$ каждая из $n^2$ клеток содержит стрелку, направленную вверх, вниз, влево или вправо. Дана начальная конфигурация, и улитка Турбо начинает своё движение из одной из клеток доски, переходя из клетки в клетку. На каждом ходу Турбо перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой в её текущей клетке (возможно, покидая пределы доски). После каждого хода Турбо стрелки во всех клетках поворачиваются на $90^\circ$ против часовой стрелки. Назовём клетку хорошей, если начиная из этой клетки, Турбо посещает каждую клетку доски ровно один раз, не покидая её, и возвращается в исходную клетку в конце. Найдите, в зависимости от $n$, наибольшее количество хороших клеток среди всех возможных начальных конфигураций.

Комментарий/решение

хахахахахахахах улитка турбо вернулась