қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2025 год. Косово
Задача №1. Для положительного целого числа $N$ обозначим через $c_1 < c_2 < \ldots < c_m$ все положительные целые числа, меньшие $N$ и взаимно простые с $N$. Найдите все такие $N \geqslant 3$, что $$\text{НОД}(N,\, c_i + c_{i+1}) \ne 1$$ для всех $1 \leqslant i \leqslant m - 1$. Здесь $\text{НОД}(a,b)$ это наибольший общий делитель. Числа $a$ и $b$ называются взаимно простыми, если $\text{НОД}(a,b)=1$.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. Бесконечную возрастающую последовательность $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ положительных целых чисел назовём центральной, если для каждого положительного целого $n$ среднее арифметическое первых $a_n$ членов последовательности равно $a_n$. Докажите, что существует бесконечная последовательность положительных целых чисел $b_1$, $b_2$, $b_3$, $\ldots$ такая, что для любой центральной последовательности $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ существует бесконечно много $n$, что $a_n = b_n$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точки $B$, $D$, $E$, $C$ лежат на одной прямой в указанном порядке и удовлетворяют равенствам $BD = DE = EC$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AD$ и $AE$ соответственно. Известно, что треугольник $ADE$ остроугольный, а $H$ — точка пересечения высот этого треугольника. Пусть точки $P$ и $Q$ лежат на прямых $BM$ и $CN$ соответственно так, что точки $D$, $H$, $M$, $P$ попарно разные и лежат на одной окружности, и точки $E$, $H$, $N$, $Q$ попарно разные и лежат на одной окружности. Докажите, что точки $P$, $Q$, $N$, $M$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Точка $I$ — центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ (\mbox{$AB \ne AC$}). Прямые $BI$ и $CI$ пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ повторно в точках $P \ne B$ и $Q \ne C$ соответственно. Рассмотрим точки $R$ и $S$ такие, что четырёхугольники $AQRB$ и $ACSP$ являются параллелограммами (где $AQ\parallel RB$, $AB\parallel QR$, $AC\parallel SP$, и $AP\parallel CS$). Пусть $T$ — точка пересечения прямых $RB$ и $SC$. Докажите, что точки $R$, $S$, $T$ и $I$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Пусть $n > 1$ — целое число. В конфигурации доски размера $n \times n$ каждая из $n^2$ клеток содержит стрелку, направленную вверх, вниз, влево или вправо. Дана начальная конфигурация, и улитка Турбо начинает своё движение из одной из клеток доски, переходя из клетки в клетку. На каждом ходу Турбо перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой в её текущей клетке (возможно, покидая пределы доски). После каждого хода Турбо стрелки во всех клетках поворачиваются на $90^\circ$ против часовой стрелки. Назовём клетку хорошей, если начиная из этой клетки, Турбо посещает каждую клетку доски ровно один раз, не покидая её, и возвращается в исходную клетку в конце. Найдите, в зависимости от $n$, наибольшее количество хороших клеток среди всех возможных начальных конфигураций.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. В каждой клетке таблицы $2025 \times 2025$ записано неотрицательное вещественное число так, что сумма чисел в каждой строке равна $1$, и сумма чисел в каждом столбце также равна $1$. Обозначим через $r_i$ наибольшее число в строке с номером $i$, и через $R = r_1 + r_2 + \dots + r_{2025}$. Обозначим через $c_i$ наибольшее число в столбце с номером $i$, и через $C = c_1 + c_2 + \dots + c_{2025}$. Найдите наибольшее возможное значение выражения $\frac{R}{C}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)