Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2024 год. Грузия

Обозначим через $\mathbb N$ множество всех натуральных чисел. Найдите все функции ${f\colon \mathbb N \to \mathbb N}$ такие, что для каждой пары натуральных чисел $(x,y)$ выполнены два условия:
   (i) $x$ и $f(x)$ имеют одинаковое количество натуральных делителей;
   (ii) Если $x$ не делит $y$, а также $y$ не делит $x$, то $$\text{НОД} (f(x), f(y)) > f(\text{НОД}(x,y)).$$
   Здесь $\text{НОД}(m,n)$ обозначает наибольшее натуральное число, которое делит числа $m$ и $n$.