қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2024 год. Грузия
Задача №1. На доске записаны два различных целых числа $u$ и $v$. Мы выполняем последовательность шагов. На каждом шаге мы выполняем одну из следующих двух операций:
(i) Если $a$, $b$ — это два различных числа, записанных на доске, то мы можем написать на доске число $a+b$, если этого числа еще нет на доске.
(ii) Если $a$, $b$, $c$ — это три попарно различных числа, записанных на доске, и если целое число $x$ удовлетворяет условию $ax^2 + bx + c = 0$, то можно написать на доске число $x$, если этого числа еще нет на доске.
Определите все пары начальных чисел $(u, v)$, с помощью которых любое целое число в конце концов может быть записано на доске после конечной последовательности шагов.
комментарий/решение
(i) Если $a$, $b$ — это два различных числа, записанных на доске, то мы можем написать на доске число $a+b$, если этого числа еще нет на доске.
(ii) Если $a$, $b$, $c$ — это три попарно различных числа, записанных на доске, и если целое число $x$ удовлетворяет условию $ax^2 + bx + c = 0$, то можно написать на доске число $x$, если этого числа еще нет на доске.
Определите все пары начальных чисел $(u, v)$, с помощью которых любое целое число в конце концов может быть записано на доске после конечной последовательности шагов.
комментарий/решение
Задача №2. Дан треугольник $ABC$, причем $AC > AB$. Обозначим через $\Omega$ окружность, описанную около этого треугольника, и через $I$ обозначим центр вписанной окружности этого треугольника. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $BC,CA,AB$ в точках $D,E,F$ соответственно. Пусть $X$ и $Y$ — две точки соответственно на малых дугах $\widehat{DF}$ и $\widehat{DE}$ вписанной окружности такие, что $\angle BXD = \angle DYC$. Пусть прямые $XY$ и $BC$ пересекаются в точке $K$. Пусть $T$ — точка на $\Omega$ такая, что $T$ лежит по одну сторону от прямой $BC$, что и точка $A$, и прямая $KT$ касается $\Omega$ в точке $T$. Докажите, что прямые $TD$ и $AI$ пересекаются на окружности $\Omega$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Назовём натуральное число $n$ необычным, если $d(d+1)$ делит $n(n+1)$ для любого натурального делителя $d$ числа $n$. Докажите, что для любых четырех попарно различных необычных чисел $A$, $B$, $C$ и $D$ выполнено равенство $$\text{НОД}(A,B,C,D)=1.$$ Здесь $\text{НОД}(A,B,C,D)$ обозначает наибольшее натуральное число, которое делит $A,B,C$ и $D$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Пусть $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ — это последовательность, состоящая из $n$ целых чисел. Пара чисел $(a_i, a_j)$, где $1 \le i < j \le n$, называется интересной, если существует пара чисел $(a_k, a_\ell)$, где $1 \le k < \ell \le n$, такая, что $$\frac {a_\ell-a_k}{a_j-a_i}=2.$$ Для каждого $n \ge 3$ найдите наибольшее возможное число интересных пар в последовательности длины $n$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Обозначим через $\mathbb N$ множество всех натуральных чисел. Найдите все функции ${f\colon \mathbb N \to \mathbb N}$ такие, что для каждой пары натуральных чисел $(x,y)$ выполнены два условия:
(i) $x$ и $f(x)$ имеют одинаковое количество натуральных делителей;
(ii) Если $x$ не делит $y$, а также $y$ не делит $x$, то $$\text{НОД} (f(x), f(y)) > f(\text{НОД}(x,y)).$$
Здесь $\text{НОД}(m,n)$ обозначает наибольшее натуральное число, которое делит числа $m$ и $n$.
комментарий/решение
(i) $x$ и $f(x)$ имеют одинаковое количество натуральных делителей;
(ii) Если $x$ не делит $y$, а также $y$ не делит $x$, то $$\text{НОД} (f(x), f(y)) > f(\text{НОД}(x,y)).$$
Здесь $\text{НОД}(m,n)$ обозначает наибольшее натуральное число, которое делит числа $m$ и $n$.
комментарий/решение
Задача №6. Найдите все натуральные числа $d$, для которых найдется многочлен $P$ степени $d$ с действительными коэффициентами такой, что среди чисел $P(0),P(1),P(2),\ldots,P(d^2-d)$ существует не более $d$ различных значений.
комментарий/решение
комментарий/решение