Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2024 год. Грузия

Тақтада екі түрлі бүтін сан $u$ және $v$ жазулы тұр. Біз әр қадамда келесі екі амалдың бірін орындай аламыз:
   (i) Егер $a$ және $b$ — тақтада жазулы екі түрлі сан болса, онда $a+b$ санын жаза аламыз (ол сан жоқ болған жағдайда).
   (ii) Егер $a$, $b$, $c$ — тақтада жазулы үш түрлі сан болса және бүтін $x$ саны $ax^2 + bx + c = 0$ теңдеуінің түбірі болса, әрі $x$ саны тақтада әлі жоқ болса, онда $x$ санын жаза аламыз.
   Қандай бастапқы $(u,v)$ жұптары үшін, шектеулі қадамдардан кейін тақтаға кез келген бүтін санды жазуға болатынын анықтаңыз.