Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2024 год. Грузия

На доске записаны два различных целых числа $u$ и $v$. Мы выполняем последовательность шагов. На каждом шаге мы выполняем одну из следующих двух операций:
   (i) Если $a$, $b$ — это два различных числа, записанных на доске, то мы можем написать на доске число $a+b$, если этого числа еще нет на доске.
   (ii) Если $a$, $b$, $c$ — это три попарно различных числа, записанных на доске, и если целое число $x$ удовлетворяет условию $ax^2 + bx + c = 0$, то можно написать на доске число $x$, если этого числа еще нет на доске.
   Определите все пары начальных чисел $(u, v)$, с помощью которых любое целое число в конце концов может быть записано на доске после конечной последовательности шагов.