қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2024 год. Грузия
Есеп №1. Тақтада екі түрлі бүтін сан $u$ және $v$ жазулы тұр. Біз әр қадамда келесі екі амалдың бірін орындай аламыз:
(i) Егер $a$ және $b$ — тақтада жазулы екі түрлі сан болса, онда $a+b$ санын жаза аламыз (ол сан жоқ болған жағдайда).
(ii) Егер $a$, $b$, $c$ — тақтада жазулы үш түрлі сан болса және бүтін $x$ саны $ax^2 + bx + c = 0$ теңдеуінің түбірі болса, әрі $x$ саны тақтада әлі жоқ болса, онда $x$ санын жаза аламыз.
Қандай бастапқы $(u,v)$ жұптары үшін, шектеулі қадамдардан кейін тақтаға кез келген бүтін санды жазуға болатынын анықтаңыз.
комментарий/решение
(i) Егер $a$ және $b$ — тақтада жазулы екі түрлі сан болса, онда $a+b$ санын жаза аламыз (ол сан жоқ болған жағдайда).
(ii) Егер $a$, $b$, $c$ — тақтада жазулы үш түрлі сан болса және бүтін $x$ саны $ax^2 + bx + c = 0$ теңдеуінің түбірі болса, әрі $x$ саны тақтада әлі жоқ болса, онда $x$ санын жаза аламыз.
Қандай бастапқы $(u,v)$ жұптары үшін, шектеулі қадамдардан кейін тақтаға кез келген бүтін санды жазуға болатынын анықтаңыз.
комментарий/решение
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында $AC > AB$ болсын. $\Omega$ — осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер, ал $I$ — іштей сызылған шеңбер центрі. Іштей сызылған шеңбер $BC$, $CA$, $AB$ қабырғаларын, сәйкесінше, $D$, $E$, $F$ нүктелерінде жанайды. $X$ және $Y$ — іштей сызылған шеңбердің, сәйкесінше, $\widehat{DF}$ және $\widehat{DE}$ кіші доғаларындағы $\angle BXD = \angle DYC$ болатындай нүктелер. $XY$ және $BC$ түзулері $K$ нүктесінде қиылыссын. $T$ — $\Omega$ шеңберіндегі нүкте, ол $A$ нүктесімен бірге $BC$-ның бір жағында жатыр, әрі $KT$ түзуі $\Omega$ шеңберін $T$ нүктесінде жанайды. $TD$ және $AI$ түзулері $\Omega$-ның бойында қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Натурал сан $n$ ерекше деп аталады, егер $n$ санының әрбір натурал бөлгіші $d$ үшін $d(d+1)$ саны $n(n+1)$ санына бөлінетін болса. Кез келген екеуі өзара тең емес болатын $A$, $B$, $C$, $D$ ерекше сандары үшін $\text{ЕҮОБ}(A,B,C,D) = 1$ теңдігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ — $n$ бүтін саннан тұратын өспелі тізбек. $1 \le i < j \le n$ шартын қанағаттандыратын $(a_i, a_j)$ жұбы қызықты деп аталады, егер $1 \le k < \ell \le n$ болатын $(a_k, a_\ell)$ жұбы табылып, әрі $$\frac{a_\ell - a_k}{a_j - a_i} = 2$$ теңдігі орындалса. Әрбір $n \ge 3$ үшін қызықты жұптардың ең көп мүмкін санын табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $\mathbb{N}$ — барлық натурал сандар жиыны. Барлық $(x,y)$ натурал сандар жұбы үшін келесі екі шартты қанағаттандыратын барлық ${f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}}$ функцияларды табыңыз:
(i) $x$ және $f(x)$ сандарының натурал бөлгіштерінің саны бірдей;
(ii) Егер $x$ саны $y$ санына бөлінбесе және $y$ саны $x$ санына бөлінбесе, онда $$\text{ЕҮОБ}(f(x), f(y)) > f(\text{ ЕҮОБ }(x,y)).$$
комментарий/решение
(i) $x$ және $f(x)$ сандарының натурал бөлгіштерінің саны бірдей;
(ii) Егер $x$ саны $y$ санына бөлінбесе және $y$ саны $x$ санына бөлінбесе, онда $$\text{ЕҮОБ}(f(x), f(y)) > f(\text{ ЕҮОБ }(x,y)).$$
комментарий/решение
Есеп №6. $P(0), P(1), P(2), \ldots, P(d^2 - d)$ мәндерінің ішінде ең көбі $d$ әр түрлі сан болатындай, дәрежесі $d$-ға тең нақты коэффициенттері бар $P$ көпмүшесі табылатындай барлық натурал $d$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение