Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2024 год. Грузия

Натурал сан $n$ ерекше деп аталады, егер $n$ санының әрбір натурал бөлгіші $d$ үшін $d(d+1)$ саны $n(n+1)$ санына бөлінетін болса. Кез келген екеуі өзара тең емес болатын $A$, $B$, $C$, $D$ ерекше сандары үшін $\text{ЕҮОБ}(A,B,C,D) = 1$ теңдігін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Claim 1: Все необычные числа $ \in \{1,p,pq\}$ , где $p \ne q$ простые числа

Док-во: Очевидно что $1$ - необычное , теперь так как $d(d+1) \mid n(n+1)$ то если $n=xd$ $\Rightarrow$ $x(x+1) \mid xd(xd+1)$ $\Rightarrow$ $x+1 \mid d(xd+1)$ $\Rightarrow$ $x+1 \mid d(-d+1)$ $\Rightarrow$ $x+1 \mid d^2-d$ $\Rightarrow$ $n+d \mid d^3-d^2$ для любого делителя $d$ , теперь взяв $d=p$ - как наименьший простой делитель $n$, видим что $n+d \mid p^3-p^2$ $\Rightarrow$ $p^3 > n$ откуда $n$ $ \in \{1,p,pq,p^2\}$ , если $n=p^2$ $\Rightarrow$ $p(p+1) \mid p^2(p^2+1)$ $\Rightarrow$ $p+1 \mid p(p^2+1)$ $\Rightarrow$ $p+1 \mid (p^2+1)$ $\Rightarrow$ $p+1 \mid 2$, Противоречие так как $p+1 \geq 3$.

Claim 2: Если необычное число $n=pq$ ,$p>q$ то $p=q^2-q-1$

Док-во: $p(p+1) \mid pq(pq+1)$ $\Rightarrow$ $p+1 \mid q(pq+1)$ $\Rightarrow$ $p+1 \mid q(-q+1)$ $\Rightarrow$ $p+1 \mid q^2-q$ , аналогично $q+1 \mid p^2-p$

Если $p \mid q+1$ $\Rightarrow$ $q+1 \geq p \geq q+1$ $\Rightarrow$ $q+1 = p$ $\Rightarrow$ $q=2,p=3$ но $12 \nmid 42$ поэтому $gcd(p,q+1)=1$

Откуда $q+1 \mid p^2-p$ $\Rightarrow$ $q+1 \mid p-1$

Теперь так как $p+1 \mid q^2-q$ $\Rightarrow$ Если $gcd(p+1,q)=1$ $\Rightarrow$ $p+1 \mid q-1$ противоречие так как $p>q$ $\Rightarrow$ $q \mid p+1$

Пусть $p+1 = qa $ $\Rightarrow$ $q+1 \mid p-1 = qa-2 $ $\Rightarrow$ $q+1 \mid a+2 $

Пусть $a+2 = qm+m$ $\Rightarrow$ $a = qm+m-2$$\Rightarrow$ $p+1 = qa = q^2m +qm-2q $

$p+1=q^2m +qm-2q \mid q^2-q$ $\Rightarrow$ $q^2-q \geq q^2m +qm-2q$ $\Rightarrow$

$q^2+q \geq q^2m +qm$ $\Rightarrow$ $m=1$ $\Rightarrow$ $p=q^2m +qm-2q-1=q^2-q-1$

Conclusion: Пусть $НОД( A,B,C,D)$ = $s$ и $p$ - любой простой делитель $s$ тогда по Принципу Дирихле из $A,B,C,D$ найдется хотя бы $2$ у которых $2$ простых делителя и делители отличные от $p$ либо оба меньше либо оба больше $p$ ну тогда очевидно следует что эти два числа равны,что невозможно