Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2024 год. Грузия

Дан треугольник $ABC$, причем $AC > AB$. Обозначим через $\Omega$ окружность, описанную около этого треугольника, и через $I$ обозначим центр вписанной окружности этого треугольника. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $BC,CA,AB$ в точках $D,E,F$ соответственно. Пусть $X$ и $Y$ — две точки соответственно на малых дугах $\widehat{DF}$ и $\widehat{DE}$ вписанной окружности такие, что $\angle BXD = \angle DYC$. Пусть прямые $XY$ и $BC$ пересекаются в точке $K$. Пусть $T$ — точка на $\Omega$ такая, что $T$ лежит по одну сторону от прямой $BC$, что и точка $A$, и прямая $KT$ касается $\Omega$ в точке $T$. Докажите, что прямые $TD$ и $AI$ пересекаются на окружности $\Omega$.

Комментарий/решение

$180=\angle CDY+\angle YCD+\angle DCY=\angle YCD+\angle YXD+\angle BXD=\angle YCD+\angle YXB\Longrightarrow BCYX$ вписанный $\Longrightarrow K$ радкиальный центр $(DEF), \Omega, (BCYX)\Longrightarrow KD=KT.$ $AI\cup \Omega=P,$ и $QP,QT$ касательные к $\Omega \Longrightarrow$ $$\angle TDK=\angle KTD=\angle TPQ\Longrightarrow \angle TKD=\angle TQP\Longrightarrow KD\parallel PQ; TD\cup PQ=P'\Longrightarrow \angle TPQ=\angle TDK=\angle TP'Q\Longrightarrow P=P' \blacksquare$$

Решение №2:

$\angle KTB=\angle DCT=\alpha$ $\angle BTD=\beta=\angle KDT-\angle DCT=\alpha+\beta-\alpha=\angle CTD.$ Пусть $P$ будет серединой дуги $BC\Longrightarrow T-D-P; A-I-P$ лежат на одной прямой.