Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2024 год. Грузия

$ABC$ үшбұрышында $AC > AB$ болсын. $\Omega$ — осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер, ал $I$ — іштей сызылған шеңбер центрі. Іштей сызылған шеңбер $BC$, $CA$, $AB$ қабырғаларын, сәйкесінше, $D$, $E$, $F$ нүктелерінде жанайды. $X$ және $Y$ — іштей сызылған шеңбердің, сәйкесінше, $\widehat{DF}$ және $\widehat{DE}$ кіші доғаларындағы $\angle BXD = \angle DYC$ болатындай нүктелер. $XY$ және $BC$ түзулері $K$ нүктесінде қиылыссын. $T$ — $\Omega$ шеңберіндегі нүкте, ол $A$ нүктесімен бірге $BC$-ның бір жағында жатыр, әрі $KT$ түзуі $\Omega$ шеңберін $T$ нүктесінде жанайды. $TD$ және $AI$ түзулері $\Omega$-ның бойында қиылысатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$180=\angle CDY+\angle YCD+\angle DCY=\angle YCD+\angle YXD+\angle BXD=\angle YCD+\angle YXB\Longrightarrow BCYX$ вписанный $\Longrightarrow K$ радкиальный центр $(DEF), \Omega, (BCYX)\Longrightarrow KD=KT.$ $AI\cup \Omega=P,$ и $QP,QT$ касательные к $\Omega \Longrightarrow$ $$\angle TDK=\angle KTD=\angle TPQ\Longrightarrow \angle TKD=\angle TQP\Longrightarrow KD\parallel PQ; TD\cup PQ=P'\Longrightarrow \angle TPQ=\angle TDK=\angle TP'Q\Longrightarrow P=P' \blacksquare$$

Решение №2:

$\angle KTB=\angle DCT=\alpha$ $\angle BTD=\beta=\angle KDT-\angle DCT=\alpha+\beta-\alpha=\angle CTD.$ Пусть $P$ будет серединой дуги $BC\Longrightarrow T-D-P; A-I-P$ лежат на одной прямой.