Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2021 год. Грузия

Существует ли неотрицательное целое число $a$, для которого уравнение $$ \left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor=n^{2}+a $$ имеет более одного миллиона различных решений ($m, n$), где $m$ и $n$ — положительные целые числа?
   Как обычно, $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$. Например, $\lfloor\sqrt{2}\rfloor=1,\lfloor\pi\rfloor=\lfloor 22 / 7\rfloor=3$, $\lfloor 42\rfloor=42$ и $\lfloor 0\rfloor=0$.