Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2017 год. Швейцария

Найдите наименьшее положительное целое число $k$, для которого существуют: раскраска положительных целых чисел $\mathbb{Z}_{ > 0}$ в $k$ цветов и функция $f: \mathbb{Z}_{ > 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{ > 0}$, удовлетворяющая следующим двум условиям:
   (i) Для всех положительных целых чисел $m, n$ одинакового цвета $f(m+n)=f(m)+f(n)$.
   (ii) Найдутся положительные целые числа $m, n$ такие, что $f(m+n) \neq f(m)+f(n)$.
   В раскраске $\mathbb{Z}_{ > 0}$ в $k$ цветов каждое целое число окрашено ровно в один из $k$ цветов. В условиях (i) и (ii) положительные целые числа $m, n$ не обязательно различны.