Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2017 год. Швейцария

Натурал $k$ саны үшiн келесi екi шартты қанағаттандыратын:
   (i) $f(m+n)=f(m)+f(n)$ теңдiгi кез келген бiр түстi натурал $m$, $n$ сандары үшiн орындалады;
   (ii) $f(m+n) \neq f(m)+f(n)$ теңсiздiгi орындалатындай $m$, $n$ натурал сандары табылады;
   натурал сандарының $\mathbb{N}$ жиыны $k$ түске бояуы және $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ функциясы табылады. $k$ санның ең кiшi мәнiң табыңыз.
   Натурал сандары $\mathbb{N}$ жиынының $k$ түске бояғанда әр сан $k$ түстен тек бiр түске боялған. (i) және (ii) шарттарда $m$, $n$ натурал сандары тең болуы да мүмкiн.