Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2013 год. Люксембург

На продолжении стороны $BC$ треугольника $ABC$ за точку $C$ отметили точку $D$ такую, что $CD=BC$, а на продолжении стороны $CA$ за точку $A$ отметили точку $E$ такую, что $AE=$ $2 CA$. Докажите, что если $AD=BE$, то треугольник $ABC$ прямоугольный.

Комментарий/решение

Пусть прямая параллельная $AC$ и проходящая через точку $D$ пересекает прямую $AB$ в точке $X$.По теореме фалеса $AB=AX$ и $XD=2AC=AE$.Треугольники $BAE$ и $AXD$ равны по трем сторонам.Тогда $\angle BAC=\angle BXD=\angle BAE=180^\circ-\angle BAC\Rightarrow \angle BAC=90^\circ$

Заметим,что в треугольнике $\triangle EBD:EC-$медиана и $\dfrac{EA}{AC}=2$.Значит $A$-центр тяжести $\triangle EBD$ и $AD$ делит пополам $BE$.Пусть прямая $AD$ пересекает $BE$ в точке $M$.Тогда $BM=ME=\dfrac{BE}{2}=\dfrac{AD}{2}=AM$ откуда $\angle BAE=90^\circ$