қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2013 год. Люксембург
Задача №1. На продолжении стороны $BC$ треугольника $ABC$ за точку $C$ отметили точку $D$ такую, что $CD=BC$, а на продолжении стороны $CA$ за точку $A$ отметили точку $E$ такую, что $AE=$ $2 CA$. Докажите, что если $AD=BE$, то треугольник $ABC$ прямоугольный.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите все натуральные числа $m$ такие, что квадрат $m \times m$ можно разрезать на пять прямоугольников со сторонами, равными $1,2,3, \ldots, 10$, взятыми в некотором порядке.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Пусть $n$ натуральное число.
(a) Докажите, что существует множество $S$, состоящее из $6 n$ попарно различных натуральных чисел такое, что наименьшее общее кратное любых двух чисел из $S$ не превосходит $32 n^{2}$.
(b) Докажите, что в любом множестве $T$, состоящем из $6 n$ попарно различных натуральных чисел найдутся такие два числа, что их наименьшее общее кратное больше, чем $9 n^{2}$.
комментарий/решение
(a) Докажите, что существует множество $S$, состоящее из $6 n$ попарно различных натуральных чисел такое, что наименьшее общее кратное любых двух чисел из $S$ не превосходит $32 n^{2}$.
(b) Докажите, что в любом множестве $T$, состоящем из $6 n$ попарно различных натуральных чисел найдутся такие два числа, что их наименьшее общее кратное больше, чем $9 n^{2}$.
комментарий/решение
Задача №4. Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых найдутся три последовательных целых числа, при значениях которых многочлен $$ P(n)=\frac{n^{5}+a}{b} $$ принимает целые значения.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Пусть $\Omega$ — описанная окружность треугольника $ABC$. Окружность $\omega$ касается сторон $AC,$ $BC$, а также касается внутренним образом окружности $\Omega$ в точке $P$. Прямая, параллельная $AB$ пересекает стороны треугольника $ABC$ и касается $\omega$ в точке $Q$. Докажите, что $\angle ACP=\angle QCB$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Белоснежка и семь гномов живут в своем домике в лесу. В течение каждого из 16 последовательных дней некоторые гномы работали на алмазной шахте, в то время как остальные собирали грибы. Каждый гном выполнял только один вид работы в течение всего дня. Известно, что какие бы два дня ни выбрать, найдутся хотя бы три гнома, которые в эти два дня выполняли оба вида работы. Кроме того, в первый день все семь гномов работали на шахте. Докажите, что в один из этих 16 дней все гномы ходили за грибами.
комментарий/решение
комментарий/решение