Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2013 год. Люксембург

Пусть $\Omega$ — описанная окружность треугольника $ABC$. Окружность $\omega$ касается сторон $AC,$ $BC$, а также касается внутренним образом окружности $\Omega$ в точке $P$. Прямая, параллельная $AB$ пересекает стороны треугольника $ABC$ и касается $\omega$ в точке $Q$. Докажите, что $\angle ACP=\angle QCB$.

Комментарий/решение

Пусть $X$ и $Y$ --- середины меньшей и большей дуги окружности $\Omega$, соответственно. Тогда по лемме Архимеда точки $P,Q$ и $Y$ лежат на одной прямой. Также заметим, что существует гомотетия $\Phi$, с центром в точке $P$, переводящая окружность $\omega$ в окружность $\Omega$.

Пусть $CP \cap \omega =P_1$, тогда имеем, что при гомотетии $\Phi$ отрезок $P_1 Q$ переходит в отрезок $CY$, таким образом, заключаем, что $P_1 Q\| CY$.

Так как $XY$ --- диаметр окружности $\Omega$, отсюда получим, что $XC\perp CY$, тогда отсюда $P_1 Q\perp XC$, при этом центр $\omega$ лежит на $XC$, то есть точки $P_1$ и $Q$ симметричны относительно данной биссектрисы. Значит, $\angle ACP=\angle QCB$.